Maxwell 방정식과 전자기파

1. 네 방정식

네 방정식이 각각 말하는 것

1.1 미분형

∇ · D = ρ                    가우스 법칙
∇ · B = 0                    자기 가우스 법칙
∇ × E = − ∂B/∂t              패러데이 법칙
∇ × H = J + ∂D/∂t            앙페르–맥스웰 법칙

1.2 적분형

∮ D · dS = Q                 닫힌 면을 지나는 전속 = 안의 전하
∮ B · dS = 0                 닫힌 면을 지나는 자속 = 0
∮ E · dl = − dΦ_B/dt         닫힌 경로의 기전력 = 자속 변화율
∮ H · dl = I + dΦ_D/dt       닫힌 경로의 기자력 = 전류 + 변위 전류

형태	어디에 쓰는가
미분형	수치 해석기가 격자마다 푼다
적분형	대칭 구조의 손계산 · 경계 조건 유도

변위 전류 ∂D/∂t 가 핵심이다. 이 항이 없으면 도체가 끊긴 자리에서 자기장이 사라지고 파동이 성립하지 않는다. 커패시터 양단에서도 전류가 이어지는 것처럼 보이는 이유가 이 항이다.

2. 구성 관계

방정식은 매질을 모른다. 매질의 성질은 다음 세 관계가 준다.

D = ε E          ε = ε₀ · εr
B = μ H          μ = μ₀ · μr
J = σ E          옴 법칙의 장 형태

매질 성질	기판에서
`εr`	유전체가 정한다 — 속도와 임피던스(impedance)
`μr`	기판 재료는 대체로 1 이다
`σ`	구리가 정한다 — 도체 손실

εr 과 tanδ 는 주파수에 따라 변한다. 한 주파수의 값으로 넓은 대역을 해석하면 손실이 실제보다 작게 나온다 — PCB 재료와 물성.

3. 경계 조건

두 매질이 만나는 면에서 장은 다음을 만족한다.

성분	조건
전기장의 접선 성분	양쪽이 같다
자기장의 접선 성분	표면 전류만큼 차이 난다
전속의 법선 성분	표면 전하만큼 차이 난다
자속의 법선 성분	양쪽이 같다

이상 도체 표면에서는 전기장의 접선 성분이 0 이다. 전기력선이 도체에 수직으로 꽂히는 이유이고, 기준면(reference plane)이 장을 가두는 원리다.

4. 파동 방정식

전하와 전류가 없는 매질에서 두 회전 방정식을 결합하면 파동 방정식이 나온다.

∇²E = μ ε ∂²E/∂t²

해는 속도 v = 1/√(με) 로 전파하는 파동이다.

양	관계
전파 속도	`v = 1 / √(μ ε)`
파장	`λ = v / f`
파수	`k = 2π / λ`
자유공간 파동 임피던스	`η₀ = √(μ₀/ε₀)` — 약 377 Ω

5. 평면파와 편파

평면파에서 전기장과 자기장은 서로 수직이고 진행 방향에도 수직이다

원거리에서 파면이 평면에 가까워진 것이 평면파다.

성질	내용
`E` 와 `H`	서로 수직이고 진행 방향에도 수직이다
두 장의 비	매질의 파동 임피던스 `η`
에너지 흐름	`E × H` 방향

편파(polarization) 는 전기장이 놓인 방향이다.

편파	내용
선형	전기장이 한 방향에 고정된다
원형	전기장이 회전한다
타원	회전하며 크기도 변한다

송신과 수신의 편파가 어긋나면 수신 전력이 떨어진다. 안테나(antenna) 배치가 성능에 걸리는 이유 가운데 하나다.

6. 근거리장과 원거리장

영역	성질	어디에 해당하는가
근거리장	`E` 와 `H` 의 비가 구조에 따라 다르다 · 에너지가 저장된다	기판 위 배선(routing) 주변 · 부품 사이 결합
원거리장	평면파에 가깝다 · 에너지가 나간다	방사 · EMI 측정

두 영역의 경계는 구조 크기와 파장이 정한다. 근거리장에서는 결합이 문제이고 원거리장에서는 방사가 문제다. 같은 구조가 두 문제를 동시에 만든다 — EMI 기초.

7. 이 방정식이 회로이론으로 줄어드는 지점

조건	결과
구조가 파장보다 훨씬 작다	변위 전류 항이 무시되고 키르히호프 법칙이 남는다
한 방향으로만 전파한다	전신 방정식(전송선 이론)으로 줄어든다
어느 쪽도 아니다	전자기장을 직접 푼다

모델을 고르는 것은 무엇을 버려도 되는지 정하는 일이다. 해석 방법의 대응은 해석 방법이 소유한다.