심화 이론 — 전자기장과 안테나

1. 전신 방정식

기본 이론 §2 의 분포정수(distributed) 등가 회로를 길이 방향으로 극한을 취하면 전신 방정식(telegrapher’s equations) 이 된다.

∂V/∂z = − R·I − L·∂I/∂t
∂I/∂z = − G·V − C·∂V/∂t

왼쪽은 위치에 대한 변화율이고 오른쪽은 그 자리의 성분이 만드는 강하다. 위치가 방정식에 들어가는 것이 집중정수(lumped) 해석과의 결정적 차이다.

정현파 정상 상태로 두면 전파 상수와 특성 임피던스가 다음 형태로 나온다.

γ = √( (R + jωL)(G + jωC) )          전파 상수
Z₀ = √( (R + jωL) / (G + jωC) )      특성 임피던스

무손실 근사(R = 0, G = 0)에서 Z₀ = √(L/C) 로 줄어든다. 손실이 있으면 Z₀ 는 실수가 아니고 주파수에 따라 달라진다 — 저주파에서 특히 크게 변한다.

비아 전이에서 신호는 층을 가로지르지만 리턴은 갈아탈 지점을 따로 요구한다

전송선 모델은 한 방향으로만 전파하는 구조를 전제한다. 그 전제가 깨지는 자리가 있다.

구조	전제가 깨지는 이유
비아(via) 전이	전류가 층을 가로지른다. 전파 방향이 한 축이 아니다
커넥터·패키지 진입	단면이 급격히 변하고 3차원 형상을 갖는다
기준면(reference plane) 분할	리턴 경로(return path)가 정의되지 않는 구간이 생긴다
평면 사이의 공진	전원면과 접지면이 이루는 공동이 특정 주파수에서 공진한다
차폐와 하우징	기판 밖의 금속 구조가 경계 조건이 된다

이 구조들은 등가 회로로 손으로 세울 수 없다. 형상에서 직접 장을 푸는 수밖에 없다.

전자기장을 직접 해석할 때의 지배 방정식이다. 회전 두 식이 시간 변화를 잇는다.

∇ × E = − ∂B/∂t
∇ × H = J + ∂D/∂t

발산 두 식이 전하와 자속의 조건을 준다.

∇ · D = ρ
∇ · B = 0

이 관점에서는 기판의 모든 요소가 전자기 구조가 된다 — 배선 · 비아 · 접지면(ground plane) · 전원면(power plane) · 커넥터 · 패키지 · 케이블 · 차폐 · 하우징.

연산 부하는 이 순서대로 급격히 높아진다. 그래서 채널 전체를 3D 로 풀지 않고, 불연속 구조만 3D 로 풀어 S 파라미터로 뽑아 낸 뒤 나머지 구간의 전송선 모델과 이어 붙인다.

회로에서 전송선 공진 구조 안테나 자유공간 전파로 이어지는 연속

전자기학의 관점에서 보면 기판과 안테나(antenna)의 경계는 명확하지 않다. 같은 구조가 조건에 따라 다른 이름으로 불린다.

공진 조건으로 흔히 쓰이는 전기적 길이는 다음과 같다.

L ≈ λ / 4        한쪽이 개방 또는 단락인 구조
L ≈ λ / 2        양쪽 조건이 같은 구조

유효 파장은 기본 이론 §5 의 관계를 따른다 — 자유공간 파장으로 계산한 치수를 기판에 그대로 쓰면 어긋난다.

회로 이론에서 전자기장 이론까지의 수준과 RF 안테나 EMI 로 갈라지는 갈래

“저속 · 고속 · 고주파” 로 나누는 것보다, 같은 전자기 현상을 어느 수준에서 모델링하는가로 보는 편이 정확하다.

물리적 수준	대표 모델	주요 해석	무엇을 버리는가
회로	집중정수 회로	전압 · 전류	위치
PCB 배선	분포정수 회로	지연 · 임피던스	횡방향 장 분포
전송선	전송선 모델	반사 · 전송	한 방향 전파가 아닌 성분
고속	SI · PI	아이 개구 · 지터 · 크로스토크	—
RF	RF 회로망	S 파라미터 · 정합	과도 현상
마이크로파	전자기장	장 분포 · 손실	—
안테나	전파 전자기장	이득 · 방사 패턴	—
EMI · EMC	전자기 결합	방사 · 내성	—

오른쪽 열이 이 표의 핵심이다. 모델을 고르는 것은 무엇을 버려도 되는지 정하는 일이며, 버린 것이 실제로 중요했을 때 해석과 측정이 갈린다.

현대의 고속 디지털 시스템은 상승 시간(rise time)이 짧아지면서 고속 설계에서도 전자기장 해석이 필요한 영역으로 들어왔다. 두 분야가 실무에서 만나는 지점이 여기다.